Réviser ses cours de maths de prépa avec Nalini Anantharaman au Collège de France.
On compare deux définitions de la convergence qui reposent sur le même principe : elles exigent qu’une propriété soit vérifiée par n’importe quel ensemble K.
« C’est la même définition, mais dans le premier point on met K compact au lieu de mettre K fermé. »
Différence entre fermé et compact ?
Conséquence sur la définition la plus forte ?
#Jaime_la_prépa
Étiquette : Collège de France
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Révisons les maths de prépa avec Nalini
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Trou spectral
Réviser ses cours de maths de prépa avec Nalini Anantharaman au Collège de France.
« Dans ℝ, quand on a un fermé, son complémentaire est une union dénombrables d’intervalles… »
– Le complémentaire d’un ensemble fermé dans ℝ est un ensemble ouvert.
– Tout ensemble ouvert non vide de ℝ est une union dénombrable (au plus) d’intervalles ouverts disjoints.
#Jaime_la_prépa
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Inégalités de Yvon Maday
Une application aux nombreuses inégalités et calculs que l’on voit en prépa présentée par Yvon Maday aujourd’hui dans sa leçon inaugurale donnée au Collège de France.
Une façon de voir les maths appliqués dans la vie quotidienne cher à Stéphane Mallat.
En replay : https://lnkd.in/eMUv_gKE
Comme Yvon Maday a illustré son propos avec la naissance de Carthage, et comme j’ai eu la chance de visiter les ruines du palais de Didon à Carthage l’été dernier grâce à la Fédération Française de Jeux Mathématiques – FFJM pour la finale en Tunisie, je vous met une photo complémentaire pour illustrer.
En plus, il se trouve que depuis quelques semaines je manipule aussi beaucoup de peaux de bêtes, et ça a avoir avec un autre cours du Collège de France dont je vous reparlerai.
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Trajectoires d’hydrométéores
Voici les trajectoires d’hydrométéores, (en plus de mes précédents posts avec videos par exemple https://lnkd.in/e3niPXSD ).
La dernière photo montre des rebonds et adsorptions sur le panneau Yves Coppens.
Inspiré par la simulation de trajectoire 3D présentée dans le livre 𝑩𝒂𝒍𝒂𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒖𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒍𝒖𝒊𝒆 de Auguste Gires et Eleonora Dallan (édition École nationale des ponts et chaussées). Post [2/3]
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Neige du 7 janvier 2026 à Paris, Panthéon, Montagne Sainte-G…
Neige du 7 janvier 2026 à Paris, Panthéon, Montagne Sainte-Geneviève
Sorbonne UniversitéLycée Louis-le-Grand Collège de France
Dernier épisode
Avec Avalanche de Stephen Heller.
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Neige du 7 janvier 2026 à Paris Sorbonne Université Musée d…
Neige du 7 janvier 2026 à Paris
Sorbonne Université Musée de Cluny – musée national du Moyen Âge Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Lycée Henri IV Eglise Saint-Etienne du Mont Lycée Saint Louis Collège de France Lycée Louis-le-Grand
Avec Avalanche de Stephen Heller.
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La neige capturée sur Paris aujourd’hui devant Lycée
La neige capturée sur Paris aujourd’hui devant
Lycée Louis-le-Grand – Collège de France – Sorbonne Université
Son : une de mes anciennes interprétations de « L’Avalanche » (ou Étude Op. 45, n° 2) de Stephen Heller (1813-1888).
Pour le filtre, j’ai repris des outils pour la chronophotographie du Mont Saint-Michel
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De la physique avec l’expo à voir au Collège de France
Un peu de #physique avec l’expo à voir actuellement au Collège de France [Post 4/4] avec cette page de cours de 1973, jusqu’au 8 janvier 2026.
➡️ On y passe des équations de Maxwell à l’équation de Schrödinger quantique 🐈⬛ . La voici retranscrite en 7 tweets.
L’onde est représentée par la Transf. de Fourier:
𝐅(𝐫, t)=∫d³k 𝐅(𝐤, t) eⁱ(𝐤⋅𝐫)
Dans cet espace, les opérateurs différentiels spatiaux (dérivées)sont remplacés par de simples opérateurs algébriques du vecteur d’onde 𝐤 :
∇ → i𝐤
∇· → i𝐤·
∇× → i𝐤×
Δ = ∇² → −k²
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Les 4 Équations de Maxwell deviennent
1) (divergence de 𝐄̇) ∇·𝐄=0⟹ 𝐤·𝐄(𝐤, t) = 0
2) (divergence de 𝐁) ∇·𝐁=0 ⟹ 𝐤·𝐁(𝐤, t) = 0
3) (rotationnel de 𝐄̇) ∇×𝐄=−∂𝐁/∂t ⟹ 𝐤×𝐄(𝐤, t) = 𝑖 𝐁̇
4) (rotationnel de 𝐁) ∇×𝐁=μ₀ε₀ ∂𝐄/∂t ⟹ 𝐤×𝐁(𝐤, t) = −𝑖 𝐄̇/𝑐²
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Conditions de réalité
Le fait que les champs 𝐄 et 𝐁 soient réels dans l’espace physique implique qu’ils sont égaux à leur conjugué complexe pris en −𝐤 :
𝐄(𝐤, t) = 𝐄* (−𝐤, t) 𝐁(𝐤, t) = 𝐁* (−𝐤, t)
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Utilisons l’identité du double produit vectoriel, 𝐀×(𝐁×𝐂)=(𝐀·𝐂)𝐁−(𝐀·𝐁)𝐂
On peut réécrire la dernière eq. de Maxwell
𝐁(𝐤,t)=(i𝐤/(kc)²)Ẻ(k,t)=(i𝐤/ω²)Ẻ(k,t) ce qui permet d’éliminer 𝐁 dans la 3e eq. de Maxwell
Ë(𝐤,t)+ω²E(𝐤,t)=0
👉Les E(𝐤,t) sont indépendantes👍
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Introduisons la fonction vectorielle
2𝑁(k)𝐀(𝐤,𝑡)=𝐄(𝐤,𝑡) + 𝑖/𝝎² Ẻ(𝐤,𝑡) 🎱
2𝑁(-k)𝐀(-𝐤,𝑡)=𝐄(-𝐤,𝑡) + 𝑖/𝝎² Ẻ(-𝐤,𝑡)
(et supposons le coeff de normalisation 𝑁(-k) = 𝑁(k))
La condition de réalité donne
2𝑁(-k)𝐀*(-𝐤,𝑡)=𝐄(𝐤,𝑡) – 𝑖/𝝎² Ẻ(𝐤,𝑡)
d’où
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𝐄(𝐤,𝑡)=𝑁(k)[𝐀(𝐤,𝑡)+𝐀*(-𝐤,𝑡)]
Ẻ(𝐤,𝑡)=𝑖𝝎𝑁(k)[𝐀(𝐤,𝑡)-𝐀*(-𝐤,𝑡)]
L’état du champ est décrit {𝐀(𝐤,𝑡)}
La 1ère eq. de Maxwell donne: 𝐤•𝐀(𝐤,𝑡)=0
Or (∂/∂t²+𝝎²)=(∂/∂t+i𝝎)(∂/∂t-i𝝎)
d’où (∂/∂t²+𝝎²)𝐄(𝐤,t) =(∂/∂t+i𝝎)(∂/∂t-i𝝎)𝐄(𝐤,t)=0
—
Or d’après🎱 (∂/∂t+i𝝎)(∂/∂t-i𝝎)𝐄(𝐤,t)=0 devient
(∂/∂t+i𝝎)𝐀(𝐤,𝑡)=0 et en multipliant par ℏ
iℏ∂/∂t 𝐀(𝐤,𝑡)=ℏ𝝎𝐀(𝐤,𝑡)
C’est l’équation de Schrödinger:
iℏ∂ψ/∂t = Eψ
dans l’espace des 𝐤 avec E = ℏ𝝎(𝐤). 🦸♀️
Pour une onde plane on a bien ĤΨ=ℏω(k)Ψ
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Des nouvelles fraiches du vote électronique
Des nouvelles fraiches du 𝐯𝐨𝐭𝐞 𝐞́𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫𝐨𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞 au séminaire de Xavier Leroy aux Collège de France: Il n’y a que 2 cas où le vote électronique peut se justifier selon Pierrick Gaudry le 13/11/25, (expert qui développe la solution académique de vote électronique #Belenios et qui a par ailleurs cassé des algos de chiffrements reposant sur des courbes elliptiques et réellement utilisés, cette dernière décennie):
– Pour le vote à distance, seulement s’il y a des centaines de km entre le votant et l’urne.
– Pour des votes où le dépouillement est déjà compliqué et difficile à suivre comme le vote de type Condorcet.
Le vote électronique permet de communiquer 𝗺𝗼𝗶𝗻𝘀 d’information que dans la vraie vie, par exemple en ne communiquant que le nom du gagnant et non pas le score des candidats, le tout homomorphique.
Mais si on communiquait 𝗽𝗹𝘂𝘀 d’information ? plus encore qu’avec Condorcet ? Et si chacun envoyait un smart contrat comme bulletin ?
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Défi Crypto (MPC) : Comment 10 amis peuvent-ils calculer leu salaire moyen
Défi Crypto (MPC) : Comment 10 amis peuvent-ils calculer leur salaire moyen… sans que personne ne révèle son salaire à qui que ce soit ? 🤔
C’est ce qu’on apprend au cours de Xavier Leroy au Collège de France. (Le prochain c’est aujourd’hui, ou en replay dans la semaine sur le web ! et c’est juste à côté de Lycée Louis-le-Grand)
… Alors, la solution ?
Réponse : On fait circuler une calculatrice.
Le premier entre un grand nombre aléatoire (par exemple 852 853 923) + son propre salaire la passe au suivant.
Chacun ajoute son propre salaire au total reçu et passe la calculatrice au suivant.
Le dernier envoie la somme finale au premier.
Le premier soustrait le nombre aléatoire qu’il avait noté dans sa tête, et divise par 10, et annonce la moyenne !
Résultat : Tout le monde connaît la moyenne, mais personne ne connait les salaires individuels.
Si vous voyez une limite au protocole, indiquez le en commentaire.
#MPC #Calcul_Multipartite_Sécurisé #CalculSécurisé #Cryptographie #Cybersécurité #CollègeDeFrance #XavierLeroy #Confidentialité
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Défi Crypto (Zero Knowledge) : Comment me prouver la couleur…
Défi Crypto (Zero Knowledge) : Comment me prouver la couleur de la carte que vous avez piochée, sans jamais me montrer la carte et sans tiers de confiance ? 🤔
C’est ce qu’on apprend au cours de Xavier Leroy au Collège de France sur le Calcul Sécurisé. (Le prochain c’est demain, ou en replay dans la semaine sur le web ! et c’est juste à côté de Lycée Louis-le-Grand)
… Alors, la solution ?
Réponse : On vérifie ensemble un jeu de 32 cartes (16 rouges, 16 noires).
Vous piochez une carte en secret (disons le 8 de cœur ❤️).
Vous me montrez ensuite TOUTES les 16 cartes noires du jeu (que vous avez trouvées dans les 31 cartes restantes).
Je suis 100% convaincue que votre carte secrète est rouge (puisque toutes les noires sont sur la table), mais je ne sais absolument pas laquelle c’est !
Si vous voyez une limite au protocole, indiquez le en commentaire.
#ZeroKnowledge #ZKP #Cryptographie #Cybersécurité #CollègeDeFrance #XavierLeroy
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Défi Crypto : Alice et Bob terminent leur dîner au restaurant…
Défi Crypto : Alice et Bob terminent leur dîner au restaurant. Le serveur s’approche, souriant : « Alors, est-ce que ça vous a plu ? »
Alice et Bob échangent un regard. Ils veulent donner une réponse commune. Ils ne diront « Oui, c’était délicieux ! » que s’ils ont tous les deux vraiment aimé.
Si un seul (ou les deux) n’a pas aimé, la réponse doit être « Non ».
Mais ils sont discrets : ils ne veulent pas communiquer plus d’information que nécessaire au serveur (leur éventuel désaccord).
Comment procèdent-ils ? 🤔
C’est un exemple de « ET » logique sécurisé, vu au cours de Xavier Leroy au Collège de France. (Le prochain c’est le 13 novembre, ou en replay dans la semaine sur le web ! et c’est juste à côté de Lycée Louis-le-Grand)
… Alors, la solution ? (Avec 5 cartes !)
Réponse : On utilise 3 Rois (K) et 2 Dames (Q).
Un Roi (K) est posé face contre table sur la table.
Alice ajoute d’abord 1K puis 1Q si son vote est « Oui », et inversement pour « non ». (face cachée)
Bob ajoute d’abord 1Q puis 1K si son vote est « Oui », et inversement pour « non ». (face cachée)
On « coupe » le paquet de 5 cartes (permutation circulaire) et on les retourne.
Résultat :
Si les 2 Dames sont côte à côte et seulement dans ce cas : C’est « Oui/Oui » ! 🎉
Si elles sont séparées par un Roi : C’est « Non ».
Grâce à la « coupe », les 3 cas « Non » (Oui/Non, Non/Oui, Non/Non) sont visuellement identiques. Si vous avez voté « Non », vous ne saurez jamais si l’autre a dit « Oui » ou « Non ». L’embarras est évité !
Si vous voyez une limite au protocole, indiquez le en commentaire.
#MPC #Calcul_Multipartite_Sécurisé #CalculSécurisé #Cryptographie #Cybersécurité #CollègeDeFrance #XavierLeroy #Confidentialité
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