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Toujours aux Journées Nationales de l’APMEP – Association des professeurs de mathématiques
#JNAPMEP, Roger Mansuy a présenté son grand almanach des mathématiques

Au 14/07, il rappelle qu’on peut voir à Versailles la sculpture de Jean-Sylvain Bailly, premier et dernier mathématicien astronome maire de Paris
Il tenta de prédire les mouvements de chaque satellite de Jupiter (cela aurait été utile pour avoir une référence de temps et ainsi déterminer la longitude sur Terre, et la vitesse de la lumière)
Mais ses calculs ne prenaient en compte que 2 corps:🪐et 1 satellite
🌑→Pas précis

En effet il y d’autres forces à prendre en compte: le soleil☀️ modifie le potentiel de gravité de Jupiter🪐vu par le satellite🌑
C’est l’analogue de la lune:qui modifie le potentiel de la Terre🌏pour les marées sur Terre🌊, on y reviendra
Mathématiquement faut trouver 1 solution particulière d’une éq. diff. non homogène, lorsqu’on connaît déjà la solution générale de l’équation homogène associée
C’est-à-dire commencer avec une solution simplifiée puis ajouter des forces perturbatrices
Dans le cas des satellites de Jupiter, la solution homogène simple est l’orbite elliptique du satellite autour de Jupiter (modèle à deux corps=Méthode
Bailly imprécise).
Une « constante » que Laplace plus tard fit varier avec le temps est notamment l’orientation de l’ellipse.
La force perturbatrice (le second membre) est la force gravitationnelle du Soleil☀️. On parle alors d’éléments osculateurs, car à chaque instant, l’orbite « réelle » est tangente à l’orbite képlérienne définie par ces éléments instantanés (on ne fait que perturber l’ellipse idéale)

Pour 1 satellite autour de Jupiter dans le référentiel iovicentrique, la 2ème loi de Képler donne🪐:
d²𝒓/dt² = -(G M_J /r³)𝒓 →solution=une ellipse
L’orientation de l’ellipse est une constante d’intégration qu’on peut ensuite « faire varier
La force perturbatrice à ajouter (partie inhomogène) due au Soleil F☉est donnée par la différence entre la force du Soleil sur le satellite et celle du Soleil sur Jupiter (qui est le centre du repère d’étude)
👉 Mais ça on connait ! C’est la force de marée !
Ce que l’on veut précisément, c’est la moyenne de la variation sur une période de l’orientation de l’ellipse:
dω̃/dt=1/(2π) ∫[0,2π](dω̃/dt)dθ appelé précession séculaire (à long terme)
Rappel sur la force de marée sur Terre :
Dans l’axe Lune-Terre, elle diminue la force de gravité apparente (comme si la Terre était plus petite)
Perpendiculairement, la force de marée est vers l’intérieur de la Terre mais plus faible en norme
Revenons à Jupiter. Son satellite voit Jupiter moins attractive lorsqu’il est dans l’axe Soleil-Jupiter
➡️Donc le rayon de courbure de sa trajectoire est plus faible
Lorsqu’il est perpendiculaire à cet axe, l’effet est contraire mais de moindre intensité comme on a vu
Conclusion: cela conduit donc à varier l’orientation de l’ellipse du satellite
dans le sens avec lequel il tourne
C’est la précession directe de l’orbite